Nikolai VorobtsovНиколай Воробцов

Parametric Symmetry in the Cubic Prouhet–Tarry–Escott ProblemПараметрическая симметрия в кубической задаче Пруэта–Тарри–Эскотта

A non-ideal template and infinite arithmetic families (manuscript v6)Неидеальный шаблон и бесконечные арифметические семейства (рукопись v6)

MANUSCRIPT V6 · INTERACTIVE COVERРУКОПИСЬ V6 · ИНТЕРАКТИВНАЯ ОБЛОЖКА
Defining parameter
x = 10b
One quadratic template in ℚ[x]; each integer b gives a new integer pair (S₁, S₂) with the same cube sum.
CUBIC IDENTITY (k = 3 ONLY)
Σ S13 = Σ S23

Power sums for k = 1, 2, and 4 do not match as polynomials. “Isolated” refers to PTE depth in k, not to a finite set of integer solutions: b = 1, 2, 3, … all work.

New in manuscript §4 (v4)

  • Setting: cubic-only identity for two 4-point multisets of quadratics; non-ideality stated as a uniform property in ℚ[x].
  • Parameters: formal x; arithmetic ladder x = 10b; telescopic reconstruction at scales 10n₁, 10n₂, 10n₃ (default 7,6,5 in code) and scanning other (a, k) via scan_parametric_pte.py.
  • Proof skeleton: Lagrange interpolation → closure D(x) ≡ 0 → inherited non-ideality.
  • GUI: decompose_gui_EXT as the experimental side of the same pipeline.

Computational origin

Observed in the author’s telescopic cube experiments: GUI decompose_gui.py with pipeline clear_result, parameter triple a = 3, b₀ = 10ⁿ − 1 (string of n nines), k = 3. The closed form below explains the recurring digit structure in those outputs.

Group S1 (quadratics in x)

a1 = 1.5x² − 1.5x − 364
b1 = 1.5x² + 1.5x − 364
c1 = 1.5x² + 4.5x − 361
d1 = 4.5x² − 130.5x + 1218

Group S2 (quadratics in x)

a2 = 1.5x² − 82.5x + 770
b2 = 1.5x² − 79.5x + 689
c2 = 1.5x² − 76.5x + 611
d2 = 4.5x² − 103.5x + 867
INVARIANT POLYNOMIAL P(x) — BOTH SIDES
101.25x⁶ − 7897.5x⁵ + 296662.5x⁴ − 6528600x³ + 84008171.25x² − 579040312.5x + 1663429263

Numerical checks (x = 10b)

b x Sets (integers) Σ cubes
1 10 S₁: {−229, −199, −166, 363} · S₂: {95, 44, 46, 282} 1,175,699,568
2 100 S₁: {14486, …, 33168} · S₂: {7520, …, 35517} 93,812,683,264,263
3 1000 Eight large integers from the quadratics 100,463,556,121,586,812,763

Abstract (v6)

Version 6 formalizes a dual reconstruction workflow for cubic-only PTE experiments: scale-based interpolation in x and mask-family reconstruction directly in b₀. For families of form n1 + d...d + n2 (with d = 1..8), three neighboring probes recover quadratic slots in b₀ and verify the invariant polynomial P(b₀)=ΣS₁³=ΣS₂³. This extends practical scan coverage while preserving symbolic validation and non-ideality diagnostics.

References

Параметр
x = 10b
Один квадратичный шаблон в ℚ[x]; каждое целое b даёт новую целочисленную пару (S₁, S₂) с тем же Σ кубов.
КУБИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО (ТОЛЬКО k = 3)
Σ S13 = Σ S23

«Изолированное» здесь — про глубину PTE по k, а не про конечность целочисленных решений: b = 1, 2, 3, … все подходят.

Новое в §4 рукописи (v4)

  • Постановка: тождество только для кубов у двух 4-точечных мультимножеств квадратиков; неидеальность — равномерно в ℚ[x].
  • Параметры: формальный x; арифметическая лестница x = 10b; телескопическое восстановление в масштабах 10n₁, 10n₂, 10n₃ (в коде по умолчанию 7,6,5) и перебор других (a, k) через scan_parametric_pte.py.
  • Скелет доказательства: интерполяция Лагранжа → замыкание D(x) ≡ 0 → наследуемая неидеальность.
  • GUI: decompose_gui_EXT как экспериментальная сторона той же схемы.

Вычислительное происхождение

Обнаружено в телескопических экспериментах с кубами: интерфейс decompose_gui.py, конвейер clear_result, тройка параметров a = 3, b₀ = 10ⁿ − 1 (n девяток), k = 3. Замкнутая форма ниже объясняет устойчивые шаблоны значащих цифр в выводе программы.

Группа S1 (квадратики по x)

a1 = 1.5x² − 1.5x − 364
b1 = 1.5x² + 1.5x − 364
c1 = 1.5x² + 4.5x − 361
d1 = 4.5x² − 130.5x + 1218

Группа S2 (квадратики по x)

a2 = 1.5x² − 82.5x + 770
b2 = 1.5x² − 79.5x + 689
c2 = 1.5x² − 76.5x + 611
d2 = 4.5x² − 103.5x + 867
ИНВАРИАНТНЫЙ МНОГОЧЛЕН P(x) — ОБЕ СТОРОНЫ
101.25x⁶ − 7897.5x⁵ + 296662.5x⁴ − 6528600x³ + 84008171.25x² − 579040312.5x + 1663429263

Численные проверки (x = 10b)

b x Наборы (целые) Σ кубов
1 10 S₁: {−229, −199, −166, 363} · S₂: {95, 44, 46, 282} 1,175,699,568
2 100 S₁: {14486, …, 33168} · S₂: {7520, …, 35517} 93,812,683,264,263
3 1000 Восемь больших целых из квадратиков 100,463,556,121,586,812,763

Аннотация (v6)

Версия 6 оформляет двухсхемный подход к восстановлению кубических PTE-тождеств: масштабная интерполяция по x и отдельная схема реконструкции прямо по b₀. Для семейств вида n1 + d...d + n2 (d = 1..8) три соседние пробы по длине середины восстанавливают квадратики в b₀ и проверяют инвариант P(b₀)=ΣS₁³=ΣS₂³. Это расширяет область практического сканирования и сохраняет строгую символическую валидацию и диагностику неидеальности.

Литература